Подставив в выражение определённое значение времени мы получим значения всех интересующих нас параметров. Такая связь очень удобна и наглядна.

Однако не всегда возможно сразу записать динамический закон в явной форме. Часто мы имеем дело со случаем, когда изначально известна зависимость величин от некоторых внешних факторов и от предыдущей истории поведения процесса. Тогда на помощь приходит другой – неявный способ записи динамического закона:

Чаще всего от неявного способа записи можно перейти к явному.

Как можно заметить, вышеприведённые зависимости задают не один, а бесконечное множество процессов вида

где С – произвольная константа. Очевидно, что для однозначного определения процесса необходимо задать значение константы, что обычно делается через начальное условие – набор значений переменных процесса в определённый момент времени:

Если время в явной форме не входит в динамический закон, записанный в дифференциальной или рекуррентной форме, то процесс называется стационарным. Это, однако, не означает, что сам процесс не будет динамическим. При преобразовании в явную форму мы получим зависимость от времени в явном виде.

Если мы имеем динамический закон в явном виде, то его анализ не представляет особого труда. В самом деле, мы имеем чёткую зависимость всех параметров процесса относительно времени, можем представить её в любой наглядной форме и способны провести любые исследования. При наличии вычислительной техники можно получить значение любого параметра с достаточно высокой точностью.

Если динамический закон задан в неявной форме, то определить значения величин в заданное время сразу же вряд ли удастся. Чаще всего в таких случаях преобразуют закон к явному виду. Но это не всегда удаётся. Если процесс нестационарный, да к тому же нелинейный, то аналитически разрешить уравнения очень трудно, а часто и вовсе невозможно. То есть мы не можем получить запись процесса в явном виде, и всё, что нам остаётся – неявная форма записи. Между тем не процесс полностью детерминирован. На помощь приходят численные методы.

Рассмотрим процесс, записанный в рекуррентной форме. Нам необходимо вычислить значение:

Так как мы имеем начальное условие:

То проделав последовательно ряд вычислений:

, , … , , …

получим в конце значение переменной в интересующий нас момент. Аналогично обстоят дела с процессами, записанными в дифференциальной форме, с той лишь разницей, что вместо последовательных итераций используется численное интегрирование (которое, по сути, представляет собой те же итерации).

Как можно заметить, метод последовательных вычислений не зависит от вида динамического закона и может быть использован для анализа широкого круга задач. К его недостаткам можно отнести то, что результат представлен только в численном виде.

Если развернуть выражение, а затем приравнять отдельно действительные, отдельно – мнимые части, то процесс запишется следующим образом:

Такой процесс будем называть процессом Жюлиа. Как можно заметить, процесс является стационарным и нелинейным. Хотя многим, может быть, более удобна действительная форма записи (она, в частности, применяется при компьютерной реализации), мы в дальнейшем чаще будем применять исходную форму.

При рассмотрении процесса Жюлиа мы часто будем пользоваться такой характеристикой комплексного числа, как модуль или абсолютная величина, вычисляемая как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей:

Хоть этот процесс и кажется слишком простым, но на его примере можно рассмотреть широкий круг вопросов и промоделировать ряд интересных явлений.

Найдём равновесные (статические) точки процесса, то есть такие точки, в которых процесс становится статическим и перестаёт зависеть от времени:

Что приводит нас к необходимости решения уравнения

В простейшем случае С=0 корнями которого являются 0 и 1. При других, отличных от нуля значениях константы мы получим другие, комплексные значения равновесных точек. С уверенностью можно заметить лишь то, что их будет две, так как уравнение имеет второй порядок.

Равновесная точка является устойчивой, если при отклонении от неё процесс с течением времени возвращается в равновесную точку. В обратном случае точка является неустойчивой. Эти определения далеки от математической строгости, но все желающие могут ознакомиться с теорией Ляпунова в специальной литературе.

Рассмотрим устойчивость на простейшем примере – процессе Жюлиа с нулевой константой. Как нам уже известно, равновесными точками этого процесса являются 0 и 1. Если задать начальное значение таким, что его абсолютная величина лежит между 0 и 1, то в процессе итераций точка постепенно приблизится к 0 и вскоре станет от него неотличима. Задав начальное значение с единичным модулем мы будем наблюдать следующую картину: значение переменной будет постоянно меняться, оставаясь по абсолютной величине равным 1. Если задать начальное значение по абсолютной величине больше 1, то на каждом шаге модуль числа будет увеличиваться, устремляясь в бесконечность. Таким образом, точка 0 устойчива, а область её притяжения ограничена сферой с единичным радиусом. Точка 1 неустойчива.

Её форма настолько сложна, что при приближении мы будем замечать всё новые и новые детали. Такой вид объектов называется фракталами. Для фракталов характерно то, что в них присутствуют детали бесконечно большого разброса масштабов. Как бы сильно мы не увеличивали фрактальную границу, мы всегда будем видеть нерегулярность структуры. Второй особенностью фрактальных объектов является самоподобие. При приближении можно заметить, что определённые участки вновь и вновь повторяются в различных сочетаниях и масштабах. По любому участку фрактала можно восстановить его весь.

Все перечисленные особенности фрактальных объектов являются следствием того, что размерность фракталов не целая, а дробная.

При дальнейших вариациях значения константы множество Жюлиа будет претерпевать различные метаморфозы. На нём будут появляться седловые точки, оно будет разбиваться на несколько связанных участков, оно может превратиться в линию, и, наконец, при больших значениях модуля константы множество Жюлиа превращается в группу точек.

Рассмотрим простое множество Жюлиа и проследим поведение процесса со временем для различных начальных точек. Если мы стартуем с устойчивой равновесной точки, то очевидно, что мы с неё никуда не уйдём. Если взять начальное приближение далеко за границей зоны притяжения, то точка быстро устремится в бесконечность. Наибольший интерес представляет поведение процесса вблизи фрактальной границы.

Если взять начальную точку вблизи фрактальной границы и рассматривать изменения её модуля при последовательных итерациях, то можно наблюдать интересный процесс. Значения будут располагаться недалеко от границы, но они будут меняться хаотически, то есть каждый раз неповторимо. Нельзя предсказать значение точки через несколько итераций. И это при том, что сам закон итераций детерминирован!

Можно провести интересный эксперимент. Если на каком-либо шаге дать значению небольшое изменение, то поначалу это изменение не сильно скажется на последующих значениях, однако через несколько итераций структура процесса будет кардинально другой. То есть хаотический процесс является неустойчивым.

Ещё одной особенностью хаотических процессов является фрактальность их траектории. Форма различных участков с небольшими вариациями часто повторяется в разных масштабах. Существует также некоторая связь между траекторией хаотического процесса и формой границы, однако рассмотрение этого вопроса выходит за рамки данной работы.

На дисплее строится картина. Координаты точки задаются как действительная и мнимая части начального значения. Цвет точки орпеделяется числом итераций, которое ей потребовалось для достижения “потолка”. Если критическое значение не было достигнуто, то точке присваивается чёрный цвет. Таким образом, чёрным цветом будет закрашена фрактальная граница и область внутри неё, а по окрасу внешней области можно будет судить о том, насколько быстро точка приближается к бесконечности. В результате мы получим на комплексной плоскости изображение множества Жюлиа.

Можно получить изображение другого коплексного множества, носящего имя Мандельброта. Для этого необходимо менять не начальное значение, а управляющую константу процесса Жюлиа. Множество Мандельброта обладает множеством интересных свойств, но гланое заключается в его универсальности для целого множества динамических нелинейных процессов.

Если бы мы попытались измерить длину границы, то мы получили бы бесконечность. И в то же время грацица является линией, не имеющей толщины. Единстенное объяснение подобного явления состоит в том, что фрактальные объекты имеют нецелую размерность.

Вызывает удивление эстетическая красота полученных изображений. Ещё большее удивление возникает, когда смотришь на уравнение, лежащее в основе этого изображения. Ето поистине удивительно, как в такой простой формуле может заключаться такая красота!

Мы кратко рассмотрели множество интересных явлений. Все эти явления происходят только в нелинейных процессах, потому что нелинейность подразумевает ветвление, а ветвление создаёт неустойчивость. Теоретические исследования этих явлений весьма сложны, потому что они уходят в облась нелинейных уравнений. Однако применение ЭВМ создаёт значительные удобства при исследовании. Визуализация даёт возможность быстро уловить суть явления и высказать многие идеи. И хотя такой путь не является математически строгим, скорость, с которой он приводит к результатам, потрясаем. Феномен того, что сложные явления, описываемые сухим языком формул и требующие долгого изучения опытных математиков, становятся понятными при взгляде на изображение, требует признания. Эстетика, заключённая в математических понятиях, позволяет по-новому взглянуть на взаимоотношение между “чистой наукой” и искусством, что несомненно пойдёт на пользу обеим.